透视中考开放性试题
发布时间:2011-02-25  阅读: 100次   评论( 加载...... )  来源: 宿迁招生教育网

透视中考开放性试题
【考点透视】

开放性问题的基本形式有:条件开放题(问题的条件不完备);结论开放题(问题的结论不确定或不唯一),这些问题的解决,需解题者经过探索确定结论或补全条件,将开放性问题转化为封闭性问题,然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题,如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计,后者主要是所给题目不完整,需要解题者把题目补充完整,然后完成解答.
    在数学中重视培养学生科学的探索意识和创新意识,是新的教学大纲的要求,也是逐步推进素质教育的需要,构建一些开放型、探索型题目进行教学,让学生在开放中探索,在探索中创造是培养学生科学的探索意识和创新意识的一条好途径.
A
 
C
 
P
 
D
 
B
 
    【典型例题】
     一、条件开放题: 给出问题的结论,让学生根据结论联想所需要的不同条件,进而从不同角度,用不同知识去解决问题。
     解条件开放题,一种是直接补齐条件,使题目结论成立;另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.  开放题的一个显著特点是:答案的不唯一性。
    例1 (2005福州)已知,如图所示,点C、 D在线段AB上,PC=PD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形并给予证明,所加条件为            ,你得到的一对全等三角形是△     ≌△      

分析:本题可以先添加一个条件,然后根据所加条件判断三角形全等,也可以先确定一对全等三角形,再探索去补齐条件使题目结论成立。

解:所加条件可以为:∠A=∠B(或者PA=PB或AC=BD或AD=BC等),全等三角形为:△PAC≌△PBC或△APD≌△BPC;证明略

例2(2006内江)如图所示,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形,连接AC、BD,容易证明:中点四边形EFGH一定是平行四边形。

A
 
B
 
C
 
D
 
E
 
F
 
G
 
H
 
(1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形;当四边形ABCD的对角线满足          时,四边形EFGH为矩形;当四边形ABCD的对角线满足     时,四边形EFGH为正方形;

(2)探索△AEH、△CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明。

(3)如果四边形ABCD的面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少?

学生自行分析解答

答案:(1)AC⊥BD,AC⊥BD且AC=BD

(2)S + S = S

(3)1

点评:探求条件的过程,是一个执果索因的过程,这是数学中的一种重要的解题方法——分析法。

二、结论开放题:  确定了已知条件后,没有固定的结论。这类题通常结论不确定或不唯一。解题时,需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论。

例3(2006大连)如图所示,抛物线E:y=x +4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于M,抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x于C、D两点。 y
 
x
 
D
 
A
 
C
 
B
 
M
 


求(1)求F的解析式;

(2)在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N,使以A、C、N、M、为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由。

分析:对于(1)可由轴对称求出点D、C坐标,再由待定系数法求抛物线F的解析式;对于(2)可以在假设存在的前提下进一步推理计算。

解:(1)易得A、B的坐标分别为

(―3,0),(―1,0),由轴对称性知D、C坐标分别为(3,0),(1,0),又M点坐标为(0,3),设抛物线F的解析式为y=ax +bx+3    则

∴a=1,b=―4

∴抛物线F的解析式为y=x ―4x+3

(2)存在。假设NM∥AC,∴N点的纵坐标为3,若在抛物线F上,当y=3时,x ―4x+3=3,则x =0, x =4,∴N点的坐标为(4,3)∴MN=4。由(1)可求AC=4 ∴MN=AC

∴四边形ACNM是平行四边形。

根据抛物线F和E关于y轴对称,故N点的坐标为(4,3)或(―4,3)

点评:本题是一道存在探索性题,其一般解题过程如下:

用已知、定理、定义
 
公理、法则等
 
假设结论成立

(存在)
 
推理或计算
 
求出结果或推出结论无误
 
求出的结果或推出的结论与已知事实矛盾
 
肯定假设
 
否定假设
 


 

拓展  若将抛物线E的解析式为y=ax +bx+c,试探索问题(2)

答案:存在,N点的坐标为(― ,c)或( ,c)

三、过程开放题:解决问题时,让学生从不同角度、用不同思维方式,通过多种途径去解决问题。

例4(2006十堰)如图所示,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于点E,AE=2

(1)求证:△ABE∽△ADB,并求AB的长。

D
 
B
 
C
 
A
 
F
 
O
 
E
 
(2)延长DB至F,使BF=BO,连接FA,那么直线FA与⊙O相切吗?为什么?

分析:本题集圆、三角形、相似形等内容于一体,第一小题可通过证明∠ABC=∠ACB=∠ADB,证得△ABE∽△ADB,并求出AB=2 。第二小题的结论为FA与⊙O相切。

解  (1)略

(2)连接OA,利用直径所对的圆周角为直角及勾股定理,求得BD=4 ,从而得到BF=BO=AB=2 ,进而利用“在三角形中如果一边上的中线等于这一边的一半,那么这个三角形是直角三角形”证得OA⊥FA,于是结论得证。

点评:第二小题的关键在于通过计算,证得BF=BO=AB,当然就本小题还有其他好几种证法,因此解题时要注意多加思考,选用恰当的方法解题,在平时的学习中要注意一题多解的训练。

(4)策略开放题:给出一些条件,利用条件设计出最优方案。

例(2006黄冈)我市英山县某茶厂种植“春蕊”牌绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似的用如图①中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示。

(1)          直接写出图①中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式

(2)          求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t>0)的函数关系式

(3)         认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?

(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500g)

分析:这是一道以函数图象为载体的应用题。解决此类问题的关键是从图象的形状、位置、特殊点等出发,探索问题的变化趋势,分析有关数据,综合有关信息,获取解题线索。(1)是一个分段函数,随时间的变化可以分成三段;(2)是抛物线的一部分;(3)是求二次函数的最值问题。

 

160
 
110
 
60
 
20
 

 
60
 
t/天
 
z/天
 

 
t/天
 
180
 
150
 
120
 
O
 
80
 
92
 
160
 
y/元
 

 
解:(1)当0<t≤120时,可设函数关系式为y=kt+160,将t=120,y=80代入上式得k=- ,即y=- t+160;当120<t≤150时,函数关系式为y=80;当150<t≤180时,函数关系式为y= t+20

故y=- t+160(0<t≤120)

y=80(120<t≤150)

y= t+20(150<t≤180)

(2)根据图象,可设z=a(t-110) +20 把t=60,z= 代入解得a= ,则所求二次函数解析式为z= (t-110) +20(0<t≤180)

(3)绿茶纯收益单价w=y-z

当0<t≤120时,w=y-z=- t+160- (t-110) -20

=- (t-10) +100即当t=10时,w的最大值为100。

当120<t≤150时w=y-z=80- (t-110) -20

=- (t-110) +60即当t=110时,w的最大值为60。

当150<t≤180时w=y-z= t+20- (t-110) -20

=- (t-170) +56即当t=170时,w的最大值为56。

通过比较,4月4日上市的绿茶纯收益单价最大,最大值为100元。

点评 这是一道用函数知识解决实际问题的应用题,首先根据题意,正确列出函数关系式,这里特别要注意自变量t的取值范围;计算最值时,要进行比较,再下结论。

引入开放性题目,是培养学生发散思维能力的重要手段。开放题更有利于学生创新能力的培养,比较全面地体现了现代教育目标。我们要在解题过程中,使学生展开思路,放开 思想 去发散,去发现,去创新,在总复习时要进行专题训练。 

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